គណិតវិទ្យាហិរញ្ញវត្ថុ - Mathematic of Finance - THE KHMER

គណិតវិទ្យាហិរញ្ញវត្ថុ

Mathematic of Finance

1 សញ្ញាណ និងប្រភេទការប្រាក់

1.1. ការប្រាក់ (Interest)

ជាប្រាក់ដែលអ្នកប្រើទន់ (អ្នកខ្ចី) ត្រូវបង់អោយម្ចាស់ទន់ (អ្នកអោយខ្ចី) ដើម្បីប្រើ ទន់នេះក្នុងរយះពេលមួយកំណត់។

1.2. អត្រាការប្រាក់ (Interest Rate)

ជាផល់ធៀបរវាងប្រាក់ដែលបង់មួយឆ្នាំ (រឺមួយគ្រា) និងទុនដែលបានខ្ចី។ អត្រាការ ប្រាក់គិតជា ភាគរយ ឬ ចំនួនទសភាគ។

ឧទាហរណ៍

អត្រាការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ r=20% = 20/100 = 0.20

មានន័យថា ក្នុងមួយឆ្នាំ បើគេខ្ចី 100$ ការប្រាក់ 20$ = 100$x0.20។

1.3. ប្រភាទការប្រាក់

ការប្រាក់មានពីរប្រភេទគឺ

-ការប្រាក់ទោល (Simple Interest)

-ការប្រាក់ផ្គួប (Compound Interest)

2. ការប្រាក់ទោល (Simple Interest)

2.1. និយមន័យ

ការប្រាក់ទោលគឺជាប្រភេទការប្រាក់ដែលគេនិយមប្រើក្នុងរយះពេលខ្លី។ ការប្រាក់ របស់គ្រាមុនមិនត្រូវបានបូកបញ្ចូលជាមួយប្រាក់ដើម ដើម្បីគិតការប្រាក់នៅគ្រាបន្ទាប់ទេ។

2.2. រូបមន្តគ្រឹះ

ឧបមាថា ជាការប្រាក់រយះពេល n

PV ជាប្រាក់ដើម (ថ្លៃបច្ចុប្បន្ន)

r ជាអត្រាការប្រាក់ (គិតជាភាគរយ)

n ជារយះពេល

ដូចនេះ គេបាន

ឧទាហរណ៍

ឧបមាថា r=24% =0.24ក្នុងមួយឆ្នាំ។ គណនាការប្រាក់របស់ប្រាក់ដើម 200 000 000រៀល ក្នុងរយៈពេល

1- 3ឆ្នាំ

2- 7ខែ

3- 40ថ្ងៃ

4- 2ឆ្នាំ 7ខែ 40ថ្ងៃ (1ឆ្នាំពាណិជ្ជកម្ម= 360ថ្ងៃ)

ដោះស្រាយ

1-គណនា I₃ឆ្នាំ

I= 200 000 000 x 0.24 x 3 = 144 000 000 រ

2-គណនា I₇ខែ

I= 200 000 000 x 0.24 x

= 28 000 000 រ

3-គណនា I₄₀ថ្ងៃ

I= 200 000 000 x 0.24 x

= 5 333 333 រ

4-គណនា I₂ ឆ្នាំ ₇ខែ ₄₀ថ្ងៃ

I= 200 000 000 x 0.24 x( 2 +

)

=48 000 000 x (

)=48 000 000 x

= 48 000 000 x

= 129 333 333 333 ៛

2.3 ថ្លៃអនាគត (Future Value)

ថ្លៃអនាគត គឺជាផលបូករវាងប្រាក់ដើម PV និងការប្រាក់សរុប I ។

ដូចនេះ FV_n= PV ( 1 + n . r)

ឧទាហរណ៍

លោក A បានខ្ចីប្រាក់គេចំនួន 210 000 000 រ00 រយៈពេល 42 ខែ អត្រាការប្រាក់ទោល 24% ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ តើលោក A ត្រូវសងប្រាក់គេប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្ត PV_n = PV ( 1 + n.r)

= 210 000 000 (1+

៛

- ប្រសិនបើ លោក A ចង់បានប្រាក់ 462 000 000៛ តើគាត់ត្រូវប្រើរយៈពេលប៉ុន្មាន ?

យើងមាន = 462 000 000៛

ដូចនេះ គាត់ត្រូវប្រើរយៈពេល 5ឆ្នាំទើបានប្រាក់ 462 000 000៛ ។

3. ការប្រាក់ផ្គួប (Compound Interest)

3.1 និយមន័យ

ការប្រាក់ផ្គួប គឺជាការប្រាក់ដែលគេនិយមប្រើក្នុងរយៈពេលវែង ។ លការប្រាក់របស់គ្រាមុនត្រូវបានបូកបញ្ចូលជាមួយប្រាក់ដើម ដើម្បីគិតការប្រាក់នៅគ្រាបន្ទាប់ ។

3.2 រូបមន្តគ្រឹះ

ឧបមាថាគេតកប្រាក់ដើម PV ទៅចងការក្នុងរយៈពេល n ឆ្នាំតាមអត្រាការប្រាក់ r ក្នុងមួយឆ្នាំ ។ នៅចុងឆ្នាំទី n គេនិងទទួលបានប្រាក់

õ ចុងខួបទី ១ : PV₁ = PV + PV_x r = PV (1 + r)

õ ចុងខួបទី២ : PV₂ = FV₁ + FV_{1 x}r = FV₁(1 + r) = PV (1+r)²

õ ចុងខួបទីn : FV_n = PV (1+r)ⁿ

ដូចនេះគេបាន

ដែល FV_n គឺជាប្រាក់ដែលទទួលបាន (ថ្លៃអនាគត)នៅចុងគ្រាទីn ដែលមានអត្រាការប្រាក់ r ផ្គួបប្រចាំឆ្នាំគ្រា និងប្រាក់ដើម PV ។

ឧទាហរណ៍១

គេវិនិយោគប្រាក់ 15 000 000$ ក្នុងរយៈពេល បួន ឆ្នាំតាមអត្រាការប្រាក់ផ្គួប 12% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ចូរគណនាថ្លៃអនាគត ។

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្ត

គេបាន FV_4years= 15 000 000(1 +0.24)⁴ = 23 602 790.4 $

ដូចនេះ គេទទួលបានប្រាក់ចំនួន 23 602 790.4 $ ក្នុងរយៈពេលបួនឆ្នាំ។

ឧទាហរណ៍២

គេវិនិយោគប្រាក់ 1000$ ក្នុងរយៈពេល ៥ ឆ្នាំ ៥ ខែ តាមអត្រាការប្រាក់ផ្គួប 7% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ តើគេនិងទទួលបានប្រាក់សរុបចំនួនប៉ុន្មាន?

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្ត

គេបាន FV_{5years
5months} = 1000(1+0.07)^5.416 = 1442.64 $

ដូចនេះ គេទទួលបានប្រាក់ចំនួន 1442.64 $ ក្នុងរយៈពេល ៥ឆ្នាំ ៥ខែ ។

ចំណាំ

អត្រាការប្រាក់ 12% ផ្គួបប្រចាំខែ មានន័យថាក្នុង មួយឆ្នាំ 12% តែគិតការប្រាក់ម្ដង ១ខែៗ ត្រូវនឹង 12%/12 =1% ដើម្បីផ្គួបជារៀងរាល់ខែ ។

3.3 ថ្លៃបច្ចុប្បន្ន(Present Value)

ពីរូបមន្ដ គេបាន:

ឧទាហរណ៏

អ្នកចង់បានប្រាក់15000000 រ នៅថ្ងៃ1 ខែ1 ឆ្នាំ2017 ។ចូរប្រាប់ពីទឹកប្រាក់ដែលអ្នក ចង់វិនិយោគតាមការប្រាក់ផ្គូបនៅថ្ងៃ1 ខែ1 ឆ្នាំ2012 ជាមួយអត្រាការប្រាក់ 25% ភាគរយ ។

ដំណោះស្រាយ

តមរូបមន្ត

គេបាន PV = PV_n/(1+r)ⁿ

= 150 00000/ (1+0.25)⁵

= 4615200

ដើម្បីអោយបានប្រាក់ 150 00000រៀល យើងត្រូវវិនិយោគប្រាក់ចំនួន 4615200រៀល ។

3.4. រយៈពេល (Number of Period)

ពីរូបមន្ត គេបាន

ឧទាហរណ៍

គេវិនិយោគប្រាក់ចំនួន 125 000ដុល្លា តាមអត្រាការប្រាក់ផ្គួប 19ភាគរយក្នុងមួយឆ្នាំ។ កំណត់រយៈពេលវិនិយោគ ដើម្បីអោយថ្លៃអនាគតស្មើនិង 500 000ដុល្លា។

ដំណោះស្រាយ

យើងមាន PV = $125 000

r = 19% =0.19

គេបាន FV_n = PV (1+r)ⁿ = 125000(1+0.19)ⁿ តែ FV_n = $500 000

ð 500 000 = 125 000(1+1.19)ⁿ

ð (1+1.19)ⁿ = 4

ð n = ln(4)/ln(1.19) = 7.973

ដូចនេះ ដើម្បីអោយបានប្រាក់ 500 000រៀល យើងត្រូវវិនិយោគរយៈពេល 7ឆ្នាំ 350 ថ្ងៃ ។

3.5. អត្រាការប្រាក់ (Interest Rate)

ពីរូបមន្ត គេបាន

ឧទាហរណ៍

កំណត់អត្រាការប្រាក់ ដែលធ្វើអោយថ្លៃអនាគតស្មើនិងប្រាំដងនៃប្រាក់ដើម ក្នុងរយៈពេល ៨ឆ្នាំ។

ដំណោះស្រាយ

យើងមាន FV_n = 5PV

n = 8ឆ្នាំ

គេបាន

FV_n = PV (1+r)ⁿ

=> 5PV = PV(1+r)⁸

=> 5 = (1+r)⁸

=> r = (5)^1/8_ 1

=> r = 0.2228

ដូចនេះ អត្រាការប្រាក់គឺ 22.28% ក្នុងមួយឆ្នាំ។

4. ការប្រាក់ផ្គួបបន្តបន្ទាប់ (Compounded Continuously Interest)

ប្រសិនបើអត្រាការប្រាក់ ត្រូវបានផ្គួបជាច្រើនដងក្នុងមួយឆ្នាំ (ឧទាហរណ៍ m ដងក្នុងមួយឆ្នាំ)

ករណីនេះ អត្រាការប្រាក់ក្នុងមួយលើកៗគឺ

ដូច្នេះ ថ្ងៃអនាគតត្រូវប្ដូរពី

ទៅជា

កាលណាផ្គួបបន្តបន្ទាប់ជាច្រើនដងនោះ

ទ្រឹស្ដីបទលីមីតគេបាន

ដូចនេះគេបាន FV = PV.e^n.r

ឧទាហរណ៍១

នៅក្នុងឆ្នាំ ១៩៨០ ប្រជាជនកម្ពុជាមាន 5,000,000នាក់ អត្រាកំណើនប្រជាជន មធ្យមប្រចាំឆ្នាំ 4%។

តើនៅឆ្នាំ១៩៩០ ប្រជាជនកម្ពុជាមានចំនួនប៉ុន្មាន?

ដំណើស្រាយ

យើងមាន PV_n= 5000 000

r = 0.04

n = 10

តាមរូបមន្ត PV = PV .e^n.r គេបាន

FV_n =5000 000 x e^10x0.04

= 7 459 123 នាក់

ឧទាហរណ៍២

ឧបមាថាគេវិនិយោគប្រាក់ $1000ក្នុងអត្រាការប្រាក់ 12% ផ្គួបបន្តបន្ទាប់ ។

ក-រកថ្លៃអនាគតបើវិនិយោគ 15ខែ ។

ខ- តើគេវិនិយោគប៉ុន្មានឆ្នាំដើម្បីឱ្យថ្លៃអនាគតស្មើរនិងពីដងនៃប្រាក់ដើម?

5. សញ្ញាណទូទៅនៃធនលាភ(Introduction of Annuities)

5.1. និយមន័យ

ធនលាភ គឺជាប្រាក់ដែលគេត្រូវបង់ ឬសង (សង ឬបង់ប្រាក់សន្សំជាប្រចាំ) ក្នុងរយៈពេលទៀងទាត់ឬស្មើរៗគ្នា ។

ឧទាហរណ៍

-ប្រាក់ខែរបស់មន្ត្រីរាជការ ជាសំណងប្រចាំខែ ។

-ពន្ធលើមធ្យោបាយដឹកជញ្ជូន ជសំណងប្រចាំឆ្នាំ ។

5.2. គោលបំណង

គោលបំណងមានពីរគឺៈ

- បង្កើតដើមទុនឱ្យមានទ្រង់ទ្រាយធំជាមុន ។

- រំលោះ ឬសងបំណុល ។

5.3. ប្រភេទនៃធនលាភ ឬសំណងប្រចាំគ្រា

ធនលាភ ឬសំណងប្រចាំគ្រាមានពីរប្រភេទគឺៈធនលាភបង់ចុងគ្រា និងធនលាភបង់ដើមគ្រា

- ធនលាភបង់ចុងគ្រា គឺជាកាបូកសរុបទឺកប្រាក់ដែលបានបង់ទាំងអស់ នៅ ពេលបង់រួចភ្លាម ។

- ធនលាភបង់ដើមគ្រា គឺជាកាបូកសរុបទឺកប្រាក់ដែលបានបង់ទាំងអស់នូវក្រោយមួយគ្រាបន្ទាប់ពីរបង់ចុងក្រោយ ។

6. ថ្លៃអនាគតនៃធនលាភ

6.1. ធនលាភបង់ចុងគ្រា (Ordinray Annuities)

ថ្លៃអនាគតនៃធនលាភបង់ចុងគ្រាគឺជាផលបូកនៃថ្លៃអនាគតរបស់ ធនលាភ ទាំងឡាយ គិតត្រឹមថ្លៃបង់ប្រាក់លើកចុងក្រោយ។

តាង a_kជាប្រាក់ដែលបង់នូវលើកទី K (K= 1,2,3,....)

r ជាអត្រាការប្រាក់ ( គិតជាភាគរយ)

n ជារយៈពេលឬជាចំនួនដងនៃការបង់ប្រាក់

FV_n ជាថ្លៃអនាគត

គេបានៈ

FV_n=a_n+ a_n-1(1 + r ) + … + a₂ (1 + r )^n-2 + a₁(1 + r )^n-1

ដូចនេះ

-ករណីពិសេស

បើ a1 = a₂ = .... = a_n = a (ថេរ) នោះ FV_n ទៅជា FV_n= a + a( 1 + r ) + ...+a( 1 + r )^n-1

ជាស៊្វីតធរណីមាត្រដែលមាន u1 = a, q = ( 1 + r ) ។

ដូចនេះគេបាន

ឧទាហរណ៍

អ្នកបានសន្សំប្រាក់ក្នុងធនាគារ 1000$ ក្នុងមួយឆ្នាំ ដែលមានអត្រាការប្រាក់ 20% នូវឆ្នាំទី 10 (10ដង)ពេលដែលបង់រួច តើទឹកប្រាក់ក្នុងគណនីរបស់អ្នកមានប៉ុន្មាន? (1/1/1994 1/1/2003)

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្ត

ដូចនេះប្រាក់ក្នុងគណនីគឺ$

ក្នុងរយៈពេលដប់ឆ្នាំ។

6.2. ធនលាភបង់ដើមគ្រា (Annuities Due)

ថ្លៃអនាគតនៃធនលាភបង់ដើមគ្រា គឺជាផលបូកថ្លៃអនាគតរបស់ធនលាភទាំង ឡាយ គិតក្រោយថ្ងៃបង់ប្រាក់លើកចុងក្រោយមួយគ្រា ។

តាង a_kជាប្រាក់ដែលបង់នូវលើកទី k ( k = 1,2,3,...) ។

r ជាអត្រាការប្រាក់ ( គិតជាភាគរយ )

n ជារយៈពេលឬចំនួនដងនៃការបង់ប្រាក់

FVn ជាថ្លៃអនាគត

គេបានៈ

FVn = a_n(1 + r ) +a_n-1( 1 + r )² + ...+ a₂( 1 + r )^n-1 + a₁( 1 + r )ⁿ

ដូចនេះ

-ករណីពីសេស

បើ a₁ =a₂ = ... a_n = a (ថេរ) នោះ FV_n ទៅជា

FV_n = a( 1 + r ) + a( 1 + r )² + ... + a( 1 + r )ⁿ

FV_n = ( 1 + r )[a + a( 1 + r ) + ... +a( 1 + r ) ^n-1]

ដូចនេះគេបាន

ឧទាហរណ៍១

អ្នកបានសន្សំប្រាក់ ដោយដាក់ប្រាក់ក្នុងធានាគារក្នុង 1ឆ្នាំៗ 1000$(បង់ដើមឆ្នាំ) អត្រាការប្រាក់ 20$។

ថ្ងៃបង់ដំបូង1/1/1994 តើទឹកប្រាក់ក្នុងគណនីរបស់អ្នកមានប៉ុន្មាននៅថ្ងៃទី 30/12/2003?

ដំណោះស្រាយ

តាមរូបមន្ត

= 31150.4185

ដូចនេះប្រាក់ក្នុងគណនីគឺ $31150.4185 ក្នុងរយៈពេលដប់ឆ្នាំ។

ឧទាហរណ៍២

អ្នកបានសន្សំប្រាក់តាមធនលាភថេរ ដោយបង់ក្នុងមួយឆ្នាំៗ1000$ ដែលមានអត្រាការប្រាក់ 20 % ។

ថ្ងៃបង់ដំបូង 1/1/1994 ថ្ងៃបង់ចុងក្រោយ 1/1/2003 ហើយអ្នកនឹងទុកប្រាក់នេះរហូតដល់ 30/12/2007

តើថ្លៃអនាគតទាំងអស់ប៉ុន្មាន ?

ដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍៣

អ្នកសន្សំប្រាក់ក្នុងធនាគារ ដោយបង់ជាប្រចាំ ក្នុងមួយឆ្នាំៗ 2000$ ថ្ងៃបង់ដំបូងគឺ 1/1/2002 ថ្ងៃបង់ចុងក្រោយ 1/1/2008 អត្រាការប្រាក់ 15% ចូររកគណនាអនាគតនៃធនលាភរបស់អ្នកគឺ

១- គិតត្រឹមថ្ងៃទី 1/1/2008

២- គិតត្រឹមថ្ងៃទី 30/12/2008

៣-គិតត្រឹមថ្ងៃទី 30/12/2010 មានន័យថាទឹកប្រាក់ដែលមាននូវថ្ងៃទី 1/1/2008 ក្នុងធនាគាររហូតដ់30/12/2010 ទើបយកសាច់ប្រាក់នេះ ។

ដំណោះស្រាយ

១-ថ្លៃអនាគតរបស់អក្នគិតត្រឹម ថ្ងៃទី 1/1/2008 គឺជាធនលាភចុងគ្រាដែល a=2000$

គេមាន r=0.15 និង n=7

=22.133,5984$

២-គិតត្រឹមថ្ងៃទី 30/12/2008 គឺជាធនលាភបង់ដើមគ្រា អ្នកត្រូវបានការប្រាក់បន្ថែម 1 គ្រាទៀត គឺ (1+r)

=22.133,5984(1.15)

=25.453,6381$

៣-គិតត្រឹមថ្ងៃទី 30/12/2010 =33.662.44$

7. ថ្លៃបច្ចុប្បន្ននៃធនលាភ (Present Value of Annuities)

ថ្លៃបច្ចុប្បន្ននៃធនលាភ គឺជាចំនួនទឹកប្រាក់ដែលកំណត់ត្រូវសងជាប្រចាំលើរយៈ ពេលស្មើគ្នាចំនួនnដងដើម្បីរំលោះបំណុលដែលបានខ្ចីក្នុងពេលបច្ចុប្បន្នចំនួន PVដែលគេហៅថា សំណង ប្រចាំគ្រា។

7.1. ធនលាភបង់ចុងគ្រា (Ordinary Annuities)

ថ្លៃបច្ចុប្បន្ននៃធនលាភបង់ចុងគ្រាគឺជាផលបូកនៃបច្ចុប្បន្នរបស់ធនលាភទាំងឡាយ គិតមុនថ្លៃបង់ប្រាក់លើកដំបូងគ្រាមួយ (ត្រង់ចំណុច០) ។

តាង a_kជាប្រាក់ដែលបង់នូវលើទីមួយ k ( k = 1, 2, 3, ...)

r ជាអ្រាការប្រាក់ (គិតជាភាគរយ)

n ជារយៈពេល ឬជាចំនួនដងនៃការបង់ប្រាក់

PV_nជាថ្លៃបច្ចុប្បន្ន

គេបានៈ

PV_n= a₁(1 + r )^-1+a₂( 1 + r )^-2 + ....+ a_n-1( 1 + r )^{-( N – 1 )}+ a_n( 1 + r )^-n

ដូចនេះ

-ករណីពិសេស

បើa₁ = a₂ = .... = a_n = a (ថេរ) នោះ PV_n ទៅជា PV_n = a( 1 + r )^-1 + .... +a( 1 + r )^-n

ជាស៊្វីតធរណីមាត្រដែលមាន u₁ = a(1 + r )^-1 , q = ( 1 + r )^-1 ។

ដូចនេះគេបាន

ឧទាហរណ៍

ក្រុមហ៊ុនសំណង់មួយបានលក់ផ្ទះអោយអ្នកក្នុងតំលៃមួយ ដោយតម្រូវអោយអ្នកបង់អោយគ្រប់ក្នុងរយៈពេល 5 ឆ្នាំនូវរៀងរាល់ចុងឆ្នាំ ។ មួយឆ្នាំអ្នកត្រូវបង់ 8000 ដុល្លា ហើយក្រុមហ៊ុនយកអត្រាការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ 8ភាគរយ ។ តើតម្លៃពិតប្រាកដរបស់ផ្ទះនូវថ្ងៃនេះមានតម្លៃស្មើប៉ុន្មាន?

7.2. ធនលាភបង់ដើមគ្រា(Annuities Due)

ថ្លៃបច្ចុប្បន្ននៃធនលាភបង់ដើមគ្រាគឺជាផលបូកថ្លៃបច្ចុប្បន្នរបស់ធនលាភទាំងឡាយ គិតក្រោយថ្ងៃបង់ប្រាក់លើកចង់ក្រោយមួយគ្រា ។

ដូចនេះគេបានៈ

ឧទាហរណ៍

ក្រុមហ៊ុនសំណង់មួយបានលក់ផ្ទះអោយ អ្នកក្នុងតំលៃមួយដោយតម្រូវអោយអ្នកបង់អោយគ្រប់ក្នុងរយៈពេល 5 ឆ្នាំនូវរៀងរាល់ដើមឆ្នាំ ។ មួយឆ្នាំអ្នកត្រូវបង់ 8000 ដុល្លា ហើយក្រុមហ៊ុនយកអត្រាការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ 8 ភាគរយ។ តើតម្លៃពិតប្រាកដរបស់ផ្ទះនូវ ថ្ងៃនេះមានតម្លៃស្មើប៉ុន្មាន?

7.2. ធនលាភបង់ដើមគ្រា(Annuities Due)

ថ្លៃបច្ចុប្បន្ននៃធនលាភបង់ដើមគ្រា គឺជាផលបូកថ្លៃបច្ចុប្បន្នរបស់ធនលាភទាំងឡាយ គិតក្រោយថ្ងៃបង់ប្រាក់លើកចង់ក្រោយមួយគ្រា ។

ដូចនេះគេបានៈ

ឧទាហរណ៍

ក្រុមហ៊ុនសំណង់មួយបានលក់ផ្ទះអោយអ្នកក្នុងតំលៃមួយ ដោយតម្រូវអោយអ្នកបង់អោយគ្រប់ក្នុងរយៈពេល 5 ឆ្នាំនូវរៀងរាល់ដើមឆ្នាំ ។ មួយឆ្នាំអ្នកត្រូវបង់ 8000 ដុល្លា ហើយក្រុមហ៊ុនយកអត្រាការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ 8ភាគរយ ។ តើតម្លៃពិតប្រាកដរបស់ផ្ទះនូវថ្ងៃនេះមានតម្លៃស្មើប៉ុន្មាន?

8. រំលោះ (Amortization ) និងតារាងរំលោះ ( Amortization Table )

-រំលោះ

រំលោះគឺជាការកាត់បន្ថយបំនុលជាបណ្តើរៗក្នុងគោលបំណងបញ្ចប់បំនុលតាមពេលវេលាដែលគេបានកំណត់ ។

-តារាងរំលោះ

តារាងរំលោះគឺជាតារាងដែលគេបង្កើតឡើងដើម្បីតាមដានស្ថានភាពបំនុល។

ឧទាហរណ៍១

សហគ្រាសកាត់ដេរមួយបានទិញអគារមួយថ្លៃ $120000 ដោយសន្យាសងរៀង រាល់ឆ្នាំ

(បន្ទាប់ពីទិញបានមួយឆ្នាំ)។ក្នុងរយៈពេលបួនឆ្នាំដោយទឹកប្រាក់ស្មើៗគ្នា។ អត្រាការប្រាក់ក្នុងមួយឆ្នាំ 10% ។

ក- រកប្រាក់ដែលសងរាល់ឆ្នាំ ។ ខ- ចូរសង់តារាងរំលោះ ។

ដំណោះស្រាយ

ក- រកប្រាក់ដែលសងរាល់ឆ្នាំ

តាមរូបមន្ត

គេបាន

ដូចនេះប្រាក់ដែលសងរាល់ឆ្នាំគឺ a = $37856.50 ។

ខ- សង់តារាងរំលោះ

ឆ្នាំ	បំនុលដើមឆ្នាំ	ការប្រាក់	ការសងមួយលើកៗ	សំនងប្រាក់ដើម
0	12 0000
1	94143.50	12000	37856.50	25856.60
2	65701.35	9414.35	37856.50	28442.15
3	34414.50	6570.14	37856.50	31286.36
4	0	3441.50	37856.50	34415
		31426	151426	120000

ឧទាហរណ៍២

បំណុលមួយមានទឹកប្រាកើចំនួន 100,000រៀល ដែលត្រូវសងវិញដោយ 12សំណងប្រចាំឆ្នាំថេរ ។ អត្រាការប្រាក់ 6 ភាគរយក្នុងមួយឆ្នាំ ។

ក-រកបំនុលក្រោយពីការសងបំណុលលើកទី 8 ។

ខ-ចូរសង់តារាងរំលោះបំណុលនូវឆ្នាំទី 9 ។

សម្គាល់

គេអាចសង់តារាងរំលោះបំណុល ដោយស្រង់យកតែកាល ឬឆ្នាំសំខាន់ៗមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះដោយប្រើរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

បំណុលដើមឆ្នាំ p គឺ

9. មូលនិធិទូទាត់បំណុល (SINKING FUND)

មូលនិធិទូទាត់បំណុលគឺជាប្រាក់ដែលគេសន្សំយ៉ាងទៀងទាត់នូវកនុងគណនីមួយដោយឡែកសម្រាប់សងបំណុល ឬរំលោះអចលនទ្រព្យផ្សេងៗ ។

ឧទាហរណ៍១

សហគ្រាសមួយបានខ្ចីពីធនាគារចំនួន 150 0000រៀល តាមអត្រាការប្រាក់ 13% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ តាមកិច្ចសន្យាសហគ្រាសត្រូវសងទៅធនាគារវិញក្នុងរយៈពេល 5ឆ្នាំ។ សហគ្រាសបានបង្កើតនូវមូលនិធិមួយដែលផ្ដល់ការប្រាក់ 10% ក្នុងមួយឆ្នាំ (បង្កើតបន្ទាប់ ពីខ្ចីបានមួយឆ្នាំ ) ។

ក- គណនាប្រាក់ដែលត្រូវសន្សំក្នុងមូលនិធិមួយលើកៗ។

ខ-ធ្វើតារាងមូលនិធិទូទាត់បំណុល ។

ដំណោះស្រាយ
ក- គណនាប្រាក់ដែលត្រូវសន្សំក្នុងមូលនិធិមួយលើកៗ

បំណុលក្នុងរយៈពេល ៥ឆ្នាំគឺ

តាមរូបមន្ត FV_n = PV ( 1 + r )ⁿ

គេបាន FV _5years = 150 0000( 1 + 0.13)⁵

= 2763652.77

ដើម្បីឱ្យបានប្រាក់ 2763652.77 រៀលសហគ្រាសត្រូវសន្សំក្នុងមូលនិធិមួយលើកៗគឺ

តាមរូបមន្ត

គេបាន a = 452679.36 ៛

ដូច្នេះ ទឹកប្រាក់ដែលត្រូវសន្សំមួយលើកៗគឺៈ 452679.36រៀល ។

ឆ្នាំ	បំណុលចុងឆ្នាំ	ការប្រាក់	ប្រាក់សន្សំមួយលើកៗ	ប្រាក់ក្នុងមូលនិធិ	ចំណូល
0	150 0000
1	1695000	195000	452679.36	452679.36
2	1915350	220350	452679.36	950625.66	45267.936
3	2164345.30	248995.50	452679.36	1498368.69	95062.566
4	2445710.42	281364.92	452679.36	2100884.92	149836.869
5	27636652.77	317942.35	452679.36	2763652.77	210088.492

ខ-តារាងមូលនិធិ

ឧទាហរណ៍២

អ្នកបានខ្ចីប្រាក់ពីធនាគារចំនួន 60,000$ ដែលមានអត្រាការប្រាក់ផ្គួប 22% សន្យា សងវិញទាំងដើមទាំងការក្នុងរយៈពេល5ឆ្នាំក្រោយ។ដូច្នេះដើម្បីត្រៀមប្រាក់គ្រប់ចំនួនសងធនាគារវិញ អ្នកត្រូវសន្សំប្រាក់តាម Annuities ថេរមួយផ្សេងទៀត ដែលមានអត្រា 18% ដោយការបង់លើកដំបូងធ្វើនូវចុងឆ្នាំ ។

គណនាទឹកប្រាក់ដែលត្រូវបង់ក្នុងមូលនិធិ ហើយសង់តារាងមូលនិធិ ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រាក់ដែលខ្ញុំត្រូវសងធនាគារវិញនូវ ៥ឆ្នាំក្រោយគឺៈ

តាមរូបមន្ត FV_n = PV (1 + r )ⁿ

គេបាន FV_n = PV ( 1 + r )ⁿ = 60000 (1 + 0.22 )⁵

= 162162. 4898$

ដើម្បីឱ្យបានប្រាក់ $ 162162. 4898 សហគ្រាសត្រូវសន្សំក្នុងមូលនិធិមួយលើកៗគឺ

តាមរូបមន្ត

= 22 666. 72$

ដូច្នេះ ទឹកប្រាក់ដែលត្រូវសន្សំមួយលើកៗគឺៈ$22 666. 72។

តារាងមូលនិធិ

ឆ្នាំ	បំណុលចុងឆ្នាំ	ការប្រាក់	ប្រាក់បង់ម្ដងៗ	ប្រាក់ក្នុងមូលនិធិ	ចំណុលការប្រាក់
0	60 000	13 200
1	73 200	16 104	22 666.7228	22 666.7228	4 080.01
2	89 304	19 646.88	22 666.7228	49 413.55	8 894.422
3	108 950 .88	23 969 .193	22 666.7228	80 974.60	14 575.43
4	132 920.07	29 242.416	22 666.7228	118 216.77	21 279.02
5	162 162.49	-	22 666.7228	162 162.50	-

ឧទាហរណ៍៣

ម៉ាស៊ិនមួយមានតម្លៃ $ 12500 មានរយៈពេលប្រើប្រាស់ 6ឆ្នាំត្រូវព្យាករណ៍ថាមាន តម្លៃកាកសំណល់ $450 ហើយមានមូលនិធិរំលោះអាចរកបានការ 8% ។

ក- តាមវិធី Sinking Fund ( ការប្រាក់ក្នុងមូលនិធិ ធ្វើឡើងនូវរាល់ចុងឆ្នាំ)។ ចូរគណនាប្រាក់ដែលត្រូវដាក់ទៅក្នុងមូលនិធិប្រចាំឆ្នាំ ។

ខ- ចូរគូសតារាងរំលោះ។

ដោះស្រាយលំហាត់គណិតវិទ្យាហិរញ្ញវត្ថុ

១> ម៉ូតូ១គ្រឿងតំលៃ 3000$ ក្រោយពេលបញ្ចុះថ្លៃ5% ។

តើមុនពេលបញ្ចុះថ្លៃ ម៉ូតូនោះមានតំលៃប៉ុន្មាន ?

ចំលើយ

តាង x ជាតម្លៃម៉ូតូមិនពេលបញ្ចុះថ្លៃ

ដូចនេះ ក្រោយពេលបញ្ចុះថ្លៃ 5%

យើងបានៈ

X - 0.05x = 3000$

1 - 0.05x = 3000

0.95x = 3000

២> រថយន្ត១គ្រឿងតំលៃ 40 000$ ក្រោយពេលបង់ពន្ធរួច 20% ។

តើមុនពេលបង់ពន្ធ រថយន្តនោះមានតំលៃប៉ុន្មាន ?

ចំលើយ

តាង x តំលៃរថយន្តមុនពេលបង់ពន្ធ

ដូចនេះ ពន្ធត្រូវបង់ស្មើរ 0.20x

យើងបានៈ តម្លៃរថយន្តដែលបង់ពន្ធរួច (សរុបទាំងពន្ធ)

X + 0.20x = 40,000$

1 + 0.20 = 40,000

$33,333.33

៣> ឧបមាថាអ្នកបានខ្ចីប្រាក់ពីធនាគារមួយចំនួន 1100$ រយះពេល9ខែទើបសងទាំងប្រាក់ ដើមនិងទាំងការប្រាក់ដែលមានអត្រាការប្រាក់12%ផ្គួបប្រចាំខែ។ តើទឹកប្រាក់សរុបដែលគេត្រូវសងអ្នកទាំងអស់ប៉ុន្មាន?

ចំលើយ

តាមរូមន្ត FV = PV(1+r)^t

ដោយ PV = 1100 r =

, t = 9ខែ

យើងបាន FV = 1100(1+0.01)⁹

= 1100 x 1.0936…

FV= 1,203.05

ដូចនេះយើងបាន ទឹកប្រាក់សរុបទាំងអស់ដែលត្រូវសងគឺ $ 1,203.05

៤> ដើម្បីអោយបានប្រាក់ 12 000$ ក្នុងរយះពេល១៨ខែក្រោយ ដែលមានអត្រាការប្រាក់

12% ផ្គួបប្រចាំខែ តើអ្នកត្រូវផ្ញើរប្រាក់នៅធនាគារក្នុងពេលនេះចំនួនប៉ុន្មាន?

ចំលើយ

តាមរូបមន្ត FV = PV (1+r)^t

ដោយ FV = 12000 r =

t = 18ខែ

យើងបាន 12000 = PV(1+0.001)¹⁸

= PV(1.196147476)

PV =

ដូចនេះយើងត្រូវផ្ញើរប្រាក់នៅធនាគារក្នុងពេលនេះចំនួន $

៥> ឧបមាថា អ្នកបានសន្សំជារៀងរាល់ខែ 1900$ ថេរ ដែលមានអត្រាការប្រាក់12%ផ្គួប ប្រចាំខែ ។ នៅពេលបង់ចំនួន 12ដងរួចភា្លម តើទឹលប្រាក់សរុបរបស់អ្នកមានប៉ុន្មាន ?

ចំលើយ

តាមរូបមន្ត PV_A =

ដោយ C=1900 ,

,t=12ដង

យើងបាន PV_A=

ដូចនេះ ទឹកប្រាក់សរុបមានចំនួន $

៦> ពីរឆ្នាំក្រោយអ្នកត្រូវការប្រាក់ចំនួន 45000$ ដូច្នេះ អ្នកត្រូវបង់សន្សំជារៀងរាល់ ខែចំនួន២៤ដងរួចភ្លាមទឹកប្រាក់សរុបរបស់អ្នកស្មើ 45000$ ដោយធនាគារផ្តល់អត្រាការ ប្រាក់6%ផ្គួបប្រចាំខែ។ តើទឹកប្រាក់ត្រូវបង់សន្សំម្តងៗ ស្មើប៉ុន្មាន ?

ចំលើយ

តាមរូបមន្ត PV_A =

ដោយ PV_A= 45000 ,

, t= 24ដង

យើងបាន 45000 =

ដូចនេះ យើងបានទឹកប្រាក់ត្រូវបង់សន្សំម្តងៗ ស្មើ $

៧> ផ្ទះ១ល្វែងលក់តាមការសងរំលួស១ខែម្តងៗចំនួន 1500$ ថេរ ដោយគិតការប្រាក់ 12% ផ្គួបប្រចាំខែ ហើយត្រូវសងចំនួន 60ដង ទើបរួចគ្នាដោយការសងលើកទី១គឺបង់នៅ ក្រោយពេលទិញ១ខែ។ តើថ្លៃបច្ចុប្បន្នរបស់ផ្ទះនោះតំលៃប៉ុន្មាន?